Question

14．已知动点P到点F（2$\sqrt{2}$，0）的距离与到直线x=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$的距离之比为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程
（2）若P在曲线C上，F₁，F₂分别为曲线C的左右焦点，且满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=t，求实数t的取值范围．
（3）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M，N两点，与y轴交于R，若$\overrightarrow{RM}$=$λ\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{RN}$=$μ\overrightarrow{NQ}$，试判断λ+μ是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出P的坐标，利用条件，建立方程，即可求曲线C的方程
（2）若P在曲线C上，F₁，F₂分别为曲线C的左右焦点，且满足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=t，求实数t的取值范围．
（3）把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、向量相等即可证明．

解答 解：（1）设P（x，y），由题意得：$\frac{\sqrt{（x-2\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}}{|x-\frac{9\sqrt{2}}{4}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1；
（2）t=$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2$\sqrt{2}$-x，-y）•（2$\sqrt{2}$-x，-y）=x²+y²-8=$\frac{8}{9}$x²-7，
∵0≤x²≤9，
∴-7≤$\frac{8}{9}$x²-7≤1，
∴-7≤t≤1；
（3）λ+μ=-$\frac{9}{4}$，即λ+μ为定值．
理由如下：
依题意知，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（0，y₃），
由y=k（x-1）与椭圆方程联立消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
∴x₁+x₂=$\frac{18{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$①，x₁x₂=$\frac{9{k}^{2}-9}{1+9{k}^{2}}$②，
∵$\overrightarrow{RM}$=$λ\overrightarrow{MQ}$，∴（x₁，y₁）-（0，y₃）=λ[（1，0）-（x₁，y₁）]，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=λ（1-{x}_{1}）}\\{{y}_{1}-{y}_{3}=-λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，
又x₁≠1与x₁≠1轴不垂直，∴x₁≠1，
∴λ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，
同理μ=$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$，
∴λ+μ=$\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）-2{x}_{1}{x}_{2}}{1-（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$，
将①②代入上式可得λ+μ=-$\frac{9}{4}$，即λ+μ为定值．

点评 熟练掌握椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的相交问题、根与系数的关系、向量相等是解题的关键．