分析 (I)设等差数列{an}的公差为d,由于a1,a2,a5成等比数列,且该数列的前10项和为100,可得${a}_{2}^{2}$=a1a5,即$({a}_{1}+d)^{2}$=a1(a1+4d),10a1+$\frac{10×9}{2}$d=100,联立解得a1,d,即可得出an.又满足Sn=a${\;}_{{b}_{n}}$,n∈N*,可得Sn=2bn-1,利用递推关系可得:bn.
(II)$\frac{1+{a}_{n}}{4{b}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$.再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式,数列的单调性即可得出.
解答 解:(I)设等差数列{an}的公差为d,∵a1,a2,a5成等比数列,且该数列的前10项和为100,
∴${a}_{2}^{2}$=a1a5,即$({a}_{1}+d)^{2}$=a1(a1+4d),10a1+$\frac{10×9}{2}$d=100,联立解得a1=1,d=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1.
又满足Sn=a${\;}_{{b}_{n}}$,n∈N*,∴Sn=2bn-1,当n=1时,b1=2b1-1,解得b1=1.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=2bn-1-(2bn-1-1),化为:bn=2bn-1,
∴数列{bn}是等比数列,首项为1,公比为2.
∴bn=2n-1.
(II)$\frac{1+{a}_{n}}{4{b}_{n}}$=$\frac{1+2n-1}{4×{2}^{n-1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$.
∴前n项和为Tn=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$,
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$,
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n}})}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$,
∴Tn=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$.
n≥2时,Tn-Tn-1=$\frac{n}{{2}^{n}}$>0.
∴数列{Tn}单调递增,
∴$\frac{1}{2}≤$Tn<2.
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系的应用、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | 3 | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{12}$ | B. | $\frac{π}{6}$ | C. | $\frac{π}{4}$ | D. | $\frac{π}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | 4 | C. | 4$\sqrt{2}$ | D. | 8 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ?x∈R,x2+2x+2≥0,真命题 | B. | ?x∈R,x2+2x+2<0,假命题 | ||
C. | ?x∉R,x2+2x+2≥0,假命题 | D. | ?x∈R,x2+2x+2≥0,真命题 |
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