Question

已知圆C：（x+4）²+y²=4和点A（-2

3

，0），圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N，问：∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：已知得圆D半径=CD-圆C半径=

t2+16

-2，M（0，t+

t2+16

-2），N（0，t-

t2+16

+2），∠MAN为直线AN到AM的角，tan∠MAN=

kAM-kAN

1+kAM•kAN

=

3

3

．由此能求出∠MAN为定值60°．

解答： 解：C（-4，0），设D（0，t），
∵两圆外切，
∴圆D半径=CD-圆C半径=

t2+16

-2，
∴M（0，t+

t2+16

-2），N（0，t-

t2+16

+2）
∴k_AM=

t+ t2+16 -2

2 3

，k_AN=

t- t2+16 +2

2 3

，
∠MAN为直线AN到AM的角
∴tan∠MAN=

kAM-kAN

1+kAM•kAN

=

t2+16 -2 3

1+(t2- t2+16 -2)2 12

=

t2+16 -2 3

1+ 1 12 (t2-t2-20+4 t2+16 )

=

t2+16 -2 3

1 3 ( t2+16 -2)

=

3

3

．
∴∠MAN为定值60°．

点评：本题考查∠MAN是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意直线与圆的性质的合理运用．