【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为
,且直线l经过曲线C的左焦点F.
(1)求直线l的普通方程;
(2)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.
【答案】(1)x+2y+1=0(2)
【解析】
(1)由极坐标化直角坐标的公式可得到曲线C的普通方程,消去参数t可得到直线普通方程,再代入F点坐标可得到直线方程;(2)椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(,sinθ)内接矩形的周长为
,化一求最值即可.
(1)因为曲线C的极坐标方程为,即ρ2+ρ2sin2θ=2.
将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y,代入上式,得
x2+2y2=2,即.
所以曲线C的直角坐标方程为.
于是c2=a2-b2=1,所以F(-1,0).
由消去参数t,
得直线l的普通方程为.
将F(-1,0)代入直线方程得.
所以直线l的普通方程为x+2y+1=0.
(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(,sinθ)(
),
所以椭圆C的内接矩形的周长为(其中
),故椭圆C的内接矩形的周长的最大值
.
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【题目】某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 110 |
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
参考公式与临界值表:.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知数列和
满足:
,
,
,其中
为实数,
为正整数.
(Ⅰ)证明:对任意的实数,数列
不是等比数列;
(Ⅱ)证明:当时,数列
是等比数列;
(Ⅲ)设为数列
的前
项和,是否存在实数
,使得对任意正整数
,都有
?若存在,求
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠BAC=120°,AC=AB=2,AA1=3.
(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(2)若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点,求证:AM⊥平面ABB1A1.
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【题目】已知在等比数列{an}中,=2,,
=128,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且{
}为等差数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为
,且直线l经过曲线C的左焦点F.
(1)求直线l的普通方程;
(2)设曲线C的内接矩形的周长为L,求L的最大值.
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【题目】已知两个不同的单位向量与
之间满足关系:
,其中
.
(1)若,求
的解析式;
(2)能否和
垂直?
能否和
平行?若不能,则说明理由;若能,则求出对应的k值;
(3)求与
夹角的最大值.
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