Question

已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（2）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．证g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立即得证．求出g′（x）分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，利用极值求出a的范围即可．

解答：解（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴fmax(x)=f(e)=1+

e2

2

，fmin(x)=f( 1 )=

1

2

（Ⅱ）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

．
①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2=

1

2a-1

．
当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)=-a-

1

2

≤0?a≥-

1

2

．
由此求得a的范围是[-

1

2

，

1

2

]．
综合①②可知，当a∈[-

1

2

，

1

2

]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．

点评：考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力．以及综合运用函数解决数学问题的能力．