Question

已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），对于偶函数y=g（x）（x∈R），当x≥0时，g（x）=f（x）-2x．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求当x＜0时，函数y=g（x）的解析式，并在给　定坐标系下，画出函数y=g（x）的图象；
（3）写出函数y=|g（x）|的单调递减区间．

Answer 1

解：（1）设y=f（x）=x^α，代入点（2，4）
得4=2^α，
∴α=2，
∴f（x）=x²
（2）∵f（x）=x² ∴当x≥0时g（x）=x²-2x
设x＜0，则-x＞0，∵y=g（x）是R上的偶函数
∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
即当x＜0时，f（x）=x²+2x
图象如右图所示
（3）函数y=|g（x）|的图象如图
由图象知，函数y=|g（x）|的单调递减区间是：（-∞，-2]，[-1，0]，[1，2]
分析：（1）利用待定系数法，设f（x）=x^α，代入点（2，4），解指数方程即可得α值；
（2）利用偶函数的定义，设x＜0，则-x＞0，f（x）=f（-x），再代入已知解析式即可得x＜0时，函数y=g（x）的解析式，最后利用对称性画出函数图象即可；
（3）先画出函数y=|g（x）|的图象，即将函数y=g（x）的图象x轴下面的部分翻到上面，再根据图象写出此函数的单调减区间即可
点评：本题考查了幂函数的定义，待定系数法求函数解析式，利用函数的对称性求函数解析式的方法，函数图象的画法和函数图象的翻折变换