Question

已知抛物线y²=4x，过点P（1，1）能否作一条直线与抛物线交于A，B两点，且P为线段AB 的中点？若能．求出直线方程，若不能说出理由．

Answer 1

分析：法一：由题意可设直线AB的方程为x-1=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程可求，y₁+y₂，结合中点坐标公式可得，

y1+y2

2

=1可求k的值，进而可求直线方程
法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y12=4x1 y22=4x2

，两式相减及KAB=

y2-y1

x2-x1

=

4

x1+x2

可求直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程

解答：解：法一：由题意可设直线AB的方程为x-1=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程

x-1=k(y-1) y2=4x

可得y²-4ky+4（k-1）=0
则△=16（k²-k+1）＞0，y₁+y₂=4k
由中点坐标公式可得，

y1+y2

2

=2k=1
∴k=

1

2

，直线AB的方程为x-1=

1

2

(y-1)即2x-y-1=0
法二：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式可得，x₁+x₂=2
则

y12=4x1 y22=4x2

两式相减可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）
∴KAB=

y2-y1

x2-x1

=

4

x1+x2

=2
∴直线AB的方程为y-1=2（x-1）即2x-y-1=0

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．注意法一中直线方程的设法的应用．