Question

已知函数f(x)=2cos2(

π

4

-x)-2

3

sin(

π

4

+x)cos(

π

4

+x)．
（1）求f(

5π

12

)的值；
（2）求f（x）的单调减区间；
（3）若x∈[

π

4

，

π

2

]，且不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据倍角公式，诱导公式及和差角公式，化简函数的解析式，将x=

5π

12

代入，可得答案．
（2）根据（1）中函数的解析式，根据正弦函数的单调性，可求出f（x）的单调减区间；
（3）概据x∈[

π

4

，

π

2

]，求出f（x）的值域，进而结合绝对值不等式的解法，求得不等式|f（x）-m|＜2恒成立时，实数m的取值范围

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2(

π

4

-x)-2

3

sin(

π

4

+x)cos(

π

4

+x)
=1+cos(

π

2

-2x)-

3

sin(

π

2

+2x)
=1+sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1…（4分）
∴f(

5π

12

)=2sin(

5π

6

-

π

3

)+1=2sin

π

2

+1=3…（5分）
（2）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z…（6分）
得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z…（7分）
∴f（x）的单调减区间是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ](k∈Z)…（9分）
（3）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

…（10分）
∴

1

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
2≤f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1≤3…（11分）
由|f（x）-m|＜2得m-2＜f（x）＜m+2…（12分）
∴m-2＜2且m+2＞3，
即1＜m＜4…（14分）

点评：本题考查的知识点是二倍角的余弦公式，二倍角的正弦公式，两角差的正弦公式，三角函数的图象和性质，其中化简函数解析式为正弦型函数是解答的关键．