(本题满分14分)如图,三棱锥P—ABC中,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB。(1)求证:AB平面PCB;(2)求二面角C—PA—B的大小.
(Ⅰ)略 (Ⅱ) arcsin
(1)∵PC平面ABC,平面ABC,
∴PCAB
|
∴CDAB又,
∴AB平面PCB.…6分
(2)解法一:取AP的中点E,连结CE、DE.
∵PC=AC=2,∴CE PA,CE=.
∵CD平面PAB,
由三垂线定理的逆定理,得DE PA.
∴为二面角C-PA-B的平面角.
由(I) AB平面PCB,又∵AB⊥BC,又AB=BC,AC=2,可求得BC=.
在中,PB=,
.
在中, sin∠CED=.
∴二面角C—PA—B的大小为arcsin.…………14分
(2)解法二:
∵AB⊥BC,AB⊥平面PBC,过点B作直线l//PA,则l⊥AB,l⊥BC,以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图)
|
则 即
解得
令= -1, 得= (,0,-1)
设平面PAC的法向量为=().
,,
则 即
解得 令=1, 得= (1,1,0).
=
∴二面角C—PA—B的大小为arccos
科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分14分)如图2,为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪,另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用,经过测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分14分)
如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1,,E是棱CC1上动点,F是AB中点,
(1)求证:;
(2)当E是棱CC1中点时,求证:CF//平面AEB1;
(3)在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A—EB1—B的大小是45°,若存在,求CE的长,若不存在,请说明理由。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省济宁市高三第二次月考文科数学 题型:解答题
(本题满分14分)如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为正方形, AE⊥平面CDE,已知AE=3,DE=4.
(Ⅰ)若F为DE的中点,求证:BE//平面ACF;
(Ⅱ)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值
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科目:高中数学 来源:2011年福建省高二上学期期末考试数学理卷 题型:解答题
(本题满分14分)如图,正方形、的边长都是1,平面平面,点在上移动,点在上移动,若()
(I)求的长;
(II)为何值时,的长最小;
(III)当的长最小时,求面与面所成锐二面角余弦值的大小.
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科目:高中数学 来源:杭州市2010年第二次高考科目教学质量检测 题型:解答题
(本题满分14分)如图,矩形BCC1B1所在平面垂直于三角形ABC所在平面,BB1=CC1=AC=2,,又E、F分别是C1A和C1B的中点。
(1)求证:EF//平面ABC;
(2)求证:平面平面C1CBB1;
(3)求异面直线AB与EB1所成的角。
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