Question

已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同学发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a，试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出a的取值范围（不需要解答过程）．

Answer 1

解：（1）定义域为（0，+∞），，
令，则x=e，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

∴f（x）的单调增区间为（0，e）；单调减区间为（e，+∞）．…（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以，
当4a≤e时，即时，f（x）在[2a，4a]上单调递增，∴f（x）_min=f（2a）；
当2a≥e时，f（x）在[2a，4a]上单调递减，∴f（x）_min=f（4a）
当2a＜e＜4a时，即时，f（x）在[2a，e]上单调递增，f（x）在[e，4a]上单调递减，
∴f（x）_min=min{f（2a），f（4a）}．
下面比较f（2a），f（4a）的大小，…（8分）
∵，
∴若，则f（a）-f（2a）≤0，此时；
若，则f（a）-f（2a）＞0，此时；…（10分）
综上得：
当0＜a≤1时，；
当a＞1时，，…（12分）
（3）正确，a的取值范围是1＜a＜e …（16分）
理由如下，考虑几何意义，即斜率，当x→+∞时，f（x）→0
又∵f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
∴f（x）的大致图象如右图所示
∴总存在正实数a，b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即，即a^b=b^a．
分析：（1）先确定函数的定义域，再利用导数，可求函数f（x）的单调区间；
（2）根据f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，结合函数的定义域，分类讨论，可求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）a的取值范围是1＜a＜e，利用f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，即可求得．
点评：本题重点考查导数的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，有一定的综合性．