Question

在三棱锥P-ABC中，给出下列四个命题：
①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；
②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；
③如果棱PA和BC所成的角为60？，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；
④三棱锥P-ABC的各棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于

1

2

；
⑤如果三棱锥P-ABC的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-arccos

1

3

．
其中正确命题的序号是

①④⑤

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，然后对应选项一一判定即可①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，②若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1或

3

；不正确．④如果三棱锥P-ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积的最大值为

1

2

．⑤如果三棱锥P-ABC的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-arccos

1

3

．

解答：解：①若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
②若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，不正确．
③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1或

3

；不正确．
④如果三棱锥P-ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于

1

2

，正确．
⑤如果三棱锥P-ABC的四个顶点是半径为1的球的内接正四面体的顶点，则P与A两点间的球面距离为π-arccos

1

3

，正确．
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查棱锥的结构特征，考查学生发现问题解决问题的能力，射影定理的应用等，是中档题．