Question

19．平面上有A（2，-1），B（1，4），D（4，-3）三点，点C在直线AB上，且$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，连接DC延长至E，使|$\overrightarrow{CE}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{ED}$|，则点E的坐标为（$\frac{8}{3}$，-7）．

Answer 1

分析 先设出点C的坐标，利用$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$列出方程组求出点C的坐标；再根据题意得出$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{CE}$，利用向量相等列出方程组求出点E的坐标．

解答 解：∵设点C（x，y），∴$\overrightarrow{AC}$=（x-2，y+1），$\overrightarrow{BC}$=（x-1，y-4），
又$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2=\frac{1}{2}（x-1）}\\{y+1=\frac{1}{2}（y-4）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（3，-6）；
又连接DC延长至E，使|$\overrightarrow{CE}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{ED}$|，
∴$\overrightarrow{DC}$=3$\overrightarrow{CE}$，
设点E（x，y），则$\overrightarrow{DC}$=（-1，-3），$\overrightarrow{CE}$=（x-3，y+6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3（x-3）=-1}\\{3（y+6）=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=-7}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（$\frac{8}{3}$，-7）．
故答案为：（$\frac{8}{3}$，-7）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目．