Question

2．如图，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，DE∥AF，AF=AD．
（1）求证：直线BF∥平面CDE；
（2）若直线BE与平面ADEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，试推断平面CEF与平面CDF是否垂直．说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由CD∥BA，又DE∥AF，可证平面CDE∥平面ABF，利用面面平行的性质可证BF∥平面CDE．
（2）先证明AB⊥平面ADEF，连接AE，则sin∠AEB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，由余弦定理可证EF⊥DF，进而证明EF⊥CD，利用面面垂直的判定定理即可得证平面CEF与平面CDF垂直．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥BA，
又∵DE∥AF，∴平面CDE∥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴BF∥平面CDE…4分
（2）∵ED⊥平面ABCD，则ED⊥AB，
又AD⊥AB，
则AB⊥平面ADEF，
连接AE，则∠AEB为直线BE与平面ADEF所成的角，
由已知，sin∠AEB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，…6分
设AB=1，则BE=$\sqrt{6}$，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=2，…8分
∵ED⊥AD，DE∥AF，AF=AD，则∠EDF=45°，
又∵DF=$\sqrt{2}$，则EF²=DE²+DF²-2DE•DFcos45°=2，即EF=$\sqrt{2}$，…9分
∴DF²+EF²=DE²，即EF⊥DF，…10分
由已知，CD⊥DE，CD⊥AD，则CD⊥平面ADEF，所以EF⊥CD，…11分
∴EF⊥平面CDF，
∵EF?平面CEF，
∴平面CEF⊥平面CDF．…12分

点评 本题主要考查了面面平行的性质，余弦定理，面面垂直的判定以及线面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．