Question

已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2

2

的直线交抛物线于A(x1，y2)，B(x2，y2)，且|AB|=

9

2

（1）求该抛物线的方程；
（2）在抛物线C上求一点D，使得点D直线y=x+3的距离最短．

Answer 1

分析：（1）设出直线AB的方程与y²=2px联立，结合：|AB|=x₁+x₂+p=

9

2

，可求抛物线的方程；
（2）设D（x，y），求出点D直线y=x+3的距离，利用配方法求最值，即可得到结论．

解答：解：（1）直线AB的方程是y=2

2

（x-

p

2

），与y²=2px联立，有4x²-5px+p²=0，
∴x₁+x₂=

5p

4

．
由抛物线定义得：|AB|=x₁+x₂+p=

9

2

∴p=2，∴抛物线方程是y²=4x．
（2）设D（x，y），则点D直线y=x+3的距离为

|x-y+3|

2

=

| y2 4 -y+3|

2

=

| 1 4 (y-2)2+2|

2

，
∴y=2时，点D直线y=x+3的距离最短为

2

，此时D（1，2）．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．