Question

已知f(x)=3cos(x+

3π

2

)+cos(x-

3π

2

)+sin(x+π)+a（a∈R，a为常数）．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（3）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式化简函数，利用奇函数的定义，可求a的值；
（2）根据周期公式，可求f（x）的最小正周期；
（3）利用正弦函数的性质，确定x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值，即可求a的值．

解答：解：（1）f(x)=3cos(x+

3π

2

)+cos(x-

3π

2

)+sin(x+π)+a=3sinx-sinx-sinx+a=sinx+a
∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴sin（-x）+a=-sinx-a，∴a=0；
（2）T=2π；
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴sinx∈[0，1]
∴f（x）的最大值为1+a
∵f（x）的最大值为4，
∴1+a=4，∴a=3．

点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于基础题．