【题目】某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此商品的年需求量为500台,销售的收入(单位:万元)函数为,其中是产品生产的数量(单位:百台).
(1)求利润关于产量的函数.
(2)年产量是多少时,企业所得的利润最大?
【答案】(1)解:设年产量为,利润为
………………6分
(2)解:由(1)知时,………………8分
时,=………………10分
当时,
故年产量为475台时,工厂所得利润最大………………12分
【解析】
(1)由于商品年需求量为,故要对产量分成不大于和大于两段来求利润.当时,用收入减掉成本,即为利润的值.当时,成本和的表达式一样,但是销售收入是固定的,由此求得解析式.(2)两段函数,二次函数部分用对称轴求得其最大值,一次函数部分由于是递减的,在左端点有最值的上限.比较两段函数的最大值,来求得整个函数的最大值.
(1)当 0≤x≤5 时,产品能全部售出,
则成本为 0.25x+0.5,收入为 5x-x2,
利润 f(x)=5x-x2-0.25x-0.5
=-x2+4.75x-0.5.
当 x>5 时,只能销售 500台,
则成本为 0.25x+0.5,销售收入为 5×5-×52=,
利润 f(x)=-0.25x-0.5=-0.25x+12.
综上,利润函数 f(x)=
(2)当 0≤x≤5时,f(x)=- (x-4.75)2+10.781 25,
当 x=4.75∈[0,5]时,f(x)max=10.781 25(万元);
当 x>5 时,函数 f(x) 是递减函数,则 f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
10.75<10.781 25.
综上,当年产量是 475台时,利润最大.
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【题目】在长方体中,写出所有
(1)与直线AB平行的直线,并用“∥”表示;
(2)与直线异面的直线;
(3)与直线AB平行的平面,并用合适的符号表示;
(4)与平面平行的平面,并用合适的符号表示;
(5)与直线AD垂直的平面,并用合适的符号表示.
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【题目】已知过点的直线的参数方程是(为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,试问是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.
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【题目】我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献,这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期,某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效,把这个电路是否为通路看成是一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”
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【题目】某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为《数学史选讲》.《球面上的几何》.《对称与群》.《矩阵与变换》.现有甲.乙.丙.丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》,也不选《对称与群》:②乙同学不选《对称与群》,也不选《数学史选讲》:③如果甲同学不选《数学史选讲》,那么丁同学就不选《对称与群》.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是( )
A. 《数学史选讲》B. 《球面上的几何》C. 《对称与群》D. 《矩阵与变换》
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是一个菱形,三角形PAD是一个等腰三角形,∠BAD=∠PAD=,点E在线段PC上,且PE=3EC.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角E﹣AB﹣P的余弦值.
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【题目】已知函数,
(1)若a=1,b=2,求函数在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)若a<b,任取存在实数m使恒成立,求m的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为,经过椭圆的右焦点的弦中最短弦长为2.
(1)求椭圆的的方程;
(2)已知椭圆的左顶点为为坐标原点,以为直径的圆上是否存在一条切线交椭圆于不同的两点,且直线与的斜率的乘积为?若存在,求切线的方程;若不存在,请说明理由.
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