Question

使得：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜2006成立的最大正整数n的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：令不等式左边，即C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=t，根据C_n^m=C_n^n-m，得到t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，两式相加根据组合数的公式可得2t=n×2ⁿ+nC_nⁿ，进而得到此式子小于2006的2倍，验证即可得到最大正整数n的值．
解答：解：由题意令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，则有t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，
则可得2t=n×2ⁿ+nC_nⁿ，
故n×2ⁿ+nC_nⁿ＜4012，
验证知，最大的n是8
故答案为：8．
点评：本题考查组合及组合数公式，解题的关键是根据题设中的形式，利用倒序相加的方法对不等式的左边进行化简，此处考查到了二项式定理，本题较抽象，知识性强，解题时要注意公式与定理的使用．