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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,底面ABCD,F为BE的中点,

(1)求证:平面ACF

(2)求BE与平面ACE的所成角的正切值;

(3)在线段EO上是否存在点G,使CG平面BDE ?若存在,求出EG:EO的值,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)见解析; (2);(3)1:2.

【解析】

(1)连接OF,根据三角形中位线得线线平行,再根据线面平行判定定理得结果,(2)先根据线面垂直得线面角,再解直角三角形得结果,(3)取EO中点G,利用面面垂直判定与性质定理证得结果.

(1)连接OF.由ABCD是正方形可知,点O为BD中点.

又F为BE的中点,所以OF∥DE.

又OF面ACF,DE面ACF,

所以DE∥平面ACF.

(2)证明:由EC⊥底面ABCD,BD底面ABCD,

∴EC⊥BD,

由ABCD是正方形可知,AC⊥BD,

又AC∩EC=C,AC、E平面ACE,

∴BD⊥平面ACE,即就是所求角,

因为

故所正切值为.

(3)在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE.理由如下:

取EO中点G,连接CG,

在四棱锥EABCD中,AB=2√CE,CO=2√2AB=CE,

∴CG⊥EO.

由(2)可知,BD⊥平面ACE,而BD平面BDE,

∴平面ACE⊥平面BDE,且平面ACE∩平面BDE=EO,

∵CG⊥EO,CG平面ACE,

∴CG⊥平面BDE

故在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE.

由G为EO中点,得EG:EO=1:2.

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