【题目】如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,底面ABCD,F为BE的中点,.
(1)求证:平面ACF;
(2)求BE与平面ACE的所成角的正切值;
(3)在线段EO上是否存在点G,使CG平面BDE ?若存在,求出EG:EO的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析; (2);(3)1:2.
【解析】
(1)连接OF,根据三角形中位线得线线平行,再根据线面平行判定定理得结果,(2)先根据线面垂直得线面角,再解直角三角形得结果,(3)取EO中点G,利用面面垂直判定与性质定理证得结果.
(1)连接OF.由ABCD是正方形可知,点O为BD中点.
又F为BE的中点,所以OF∥DE.
又OF面ACF,DE面ACF,
所以DE∥平面ACF.
(2)证明:由EC⊥底面ABCD,BD底面ABCD,
∴EC⊥BD,
由ABCD是正方形可知,AC⊥BD,
又AC∩EC=C,AC、E平面ACE,
∴BD⊥平面ACE,即就是所求角,
因为
故所正切值为.
(3)在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE.理由如下:
取EO中点G,连接CG,
在四棱锥EABCD中,AB=2√CE,CO=2√2AB=CE,
∴CG⊥EO.
由(2)可知,BD⊥平面ACE,而BD平面BDE,
∴平面ACE⊥平面BDE,且平面ACE∩平面BDE=EO,
∵CG⊥EO,CG平面ACE,
∴CG⊥平面BDE
故在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE.
由G为EO中点,得EG:EO=1:2.
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【题目】如图,△ABC是边长为4的等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,AD⊥BD,平面ABC⊥平面ABD,且EC⊥平面ABC,EC=2.
(1)证明:DE∥平面ABC;
(2)证明:AD⊥BE.
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【题目】已知数列{an}(n=1,2,3,4,5)满足a1=a5=0,且当2≤k≤5时,(ak﹣ak﹣1)2=1,令S= , 则S不可能的值是( )
A.4
B.0
C.1
D.-4
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【题目】如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道(,是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点,分别落在线段上.已知米,米,记.
(1)试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域;
(2)若,求此时管道的长度;
(3)当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
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【题目】设函数,已知曲线在点处的切线与直线平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然数,使得方程在内存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,请说明理由。
(Ⅲ)设函数(表示中的较小者),求的最大值。
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【题目】定义在区间[a,b]上的连续函数y=f(x),如果,使得,则称为区间[a,b]上的“中值点”,下列函数:
①; ②; ③; ④中,在区间[O,1]上“中值点”多于一个的函数序号为( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,求.
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