Question

14．数列{a_n}满足a₁=1，前n项和为S_n，S_n+1=4a_n+2，求a₂₀₁₃．

Answer 1

分析 化简可得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），从而可得数列{a_n+1-2a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，即a_n+1-2a_n=3•2^n-1，从而可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{3}{4}$为公差的等差数列，从而解得．

解答 解：∵S_n+1=4a_n+2，
∴a₁+a₂=4a₁+2，
解得，a₂=5；
由S_n=4a_n-1+2，S_n+1=4a_n+2得，
a_n+1=4a_n-4a_n-1，
a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
故数列{a_n+1-2a_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{4}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{3}{4}$为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$（n-1）=$\frac{3}{4}$n-$\frac{1}{4}$，
∴a_n=（$\frac{3}{4}$n-$\frac{1}{4}$）2ⁿ，
∴a₂₀₁₃=（$\frac{3}{4}$×2013-$\frac{1}{4}$）2²⁰¹³=3019×2²⁰¹²．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的应用及数列的化简与构造，属于难题．