Question

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设中的定义知，可先得出与的展开式，整理成最简形式，根据题设条件判断出即可证明出结论；
（II）由题意f'（x）为f（x）的导函数，且时，|f'（x）|＜1可得出，由于在时，此不等式恒成立，故可构造出两个函数，将问题转化为g_max（x）＜a＜h_min（x），根据两函数的单调性求出g_max（x）与h_min（x），即可得到a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），则==，…（2分）
，…（3分）
∵x₁²+x₂²≥2x₁x₂，∴（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
又，…（5分）
又，
∴，
即．
∴f（x）为（0，+∞）上的下凸函数…（7分）
答：f（x）为（0，+∞）上的下凸函数
（Ⅱ）先对所给的函数求导得到，…（9分）
∵，
∴，…（11分）
∵恒成立，
设
则有g_max（x）＜a＜h_min（x），
又在上为增函数，在[1，2]上为减函数
∴g_max（x）=g（1）=-2…（12分），
而在上为增函数，
∴…（13分）
∴…（14分）
答：实数a的取值范围是（-2，-）
点评：本题是一个新定义的题，考查了利用新定义证明，利用不等式恒成立求参数的取值范围，理解新定义，将恒成立的问题进行正确转化是解题的关键，利用导数求最值是导数的重要运用，本题用到了转化的思想，函数的思想，是综合性较强的题，可能因为找不到问题的转化方向而无法下手．