Question

【题目】设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0 ， 且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0；求证：x1+2x0=0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若f（x）=x3﹣ax﹣b，则f′（x）=3x2﹣a， 分两种情况讨论：
①、当a≤0时，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，
此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），
②、当a＞0时，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=﹣ 或x= ，
当x＞ 或x＜﹣ 时，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，
当﹣ ＜x＜ 时，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，
故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），减区间为（﹣ ， ）；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x0 ， 则必有a＞0，且x0≠0，
由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，则x02= ，
进而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣ x0﹣b，
又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣ x0+2ax0﹣b=f（x0），
由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x1 ， 满足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0 ，
则有x1=﹣2x0 ， 故有x1+2x0=0
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由条件判断出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0 ， 分别代入解析式化简f（x0），f（﹣2x0），化简整理后可得证．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．