Question

已知函数f（x）=（x＞0）的值域为集合A，
（1）若全集U=R，求C_UA；
（2）对任意x∈（0，]，不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的范围；
（3）设P是函数f（x）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，求•的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据二阶矩阵运算的法则化得f（x）的解析式，再利用基本不等式得集合A，由补集的含义即可写出答案；
（2）由题得a≥-（x+），只须求出a大于等于函数y=-（x+）在（0，]的最大值，再利用函数的单调性得出函数y=-（x+）在（0，]的最大值，即可实数a的范围；
（3）先设P（x，x+），写出直线PA的方程，再与直线y=x的方程联立，得A点的坐标，最后利用向量数量积的坐标运算计算即得答案．
解答：解：（1）由已知得，x＞0，则f（x）=x+≥2                       …（1分）
当且仅当x=时，即x=等号成立，
∴A=[2，+∞）                                       …（3分）
所以，C_UA=（-∞，2）                                …（4分）
（2）由题得 a≥-（x+）                                      …（5分）
函数y=-（x+）在（0，]的最大值为-                       …（9分）
∴a≥-                                                      …（10分）
（3）设P（x，x+），则直线PA的方程为
y-（x+）=-（x-x），
即y=-x+2x+…（11分）
由  得A（x+，2x+）                         …（13分）
又B（0，x+），…（14分）
所以=（，-），=（-x，0），
故 =（-x）=-1     …（16分）
点评：本题考查二阶矩阵、补集的含义、平面向量数量积的运算等，考查运算能力，属于基础题．