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已知函数与函数g(x)=alnx在点(1,0)处有公共的切线,设F(x)=f(x)-mg(x)(m≠0).
(1)求a的值
(2)求F(x)在区间[1,e]上的最小值.
【答案】分析:(1)因为函数与函数g(x)=alnx在点(1,0)处有公共的切线,且f(1)=g(1)=0,说明点(1,0)在两条曲线上,把两函数求导后根据在(1,0)处的导数值相等可得a的值;
(2)把f(x)与g(x)代入函数F(x)的解析式,然后求其导函数,分m<0和m>0判断导函数的单调性,根据函数的单调性求得F(x)在区间[1,e]上的最小值.其中当m>0时需要由导函数的零点对区间[1,e]进行分段.
解答:解:(1)因为f(1)==0,g(1)=aln1=0,所以(1,0)在函数f(x),g(x)的图象上
,所以f'(1)=1,g'(1)=a
所以a=1
(2)因为F(x)=f(x)-mg(x),所以,,其定义域为{x|x>0}
当m<0时,
所以F(x)在(0,+∞)上单调递增
所以F(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为F(1)==0.
当m>0时,令,得到(舍)
时,即0<m≤1时,F'(x)>0对(1,e)恒成立,
所以F(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为F(1)=0
时,即m≥e2时,F'(x)<0对(1,e)成立,
所以F(x)在[1,e]上单调递减,
其最小值为
,即1<m<e2时,F'(x)<0对成立,F'(x)>0对成立
所以F(x)在单调递减,在上单调递增
其最小值为
综上,当m≤1时,F(x)在[1,e]上的最小值为F(1)=0.
当1<m<e2时,F(x)在[1,e]上的最小值为
当m≥e2时,F(x)在[1,e]上的最小值为
点评:本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查了利用导数求函数在闭区间上的最值,求函数在闭区间上的最值,需要求函数在对应开区间上的极值与区间端点的函数值,然后进行大小比较.此题属中档题.
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1
3
a2x3-ax2+
2
3
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1
2
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