Question

已知cosα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

．
（1）求tan2α；
（2）求cos2β．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,二倍角的余弦,二倍角的正切

专题：三角函数的求值

分析：（1）由同角三角函数基本关系可得tanα，代入二倍角的正切公式可得；
（2）同理可得sin（α-β），可得cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β），代入数据可得其值，由二倍角的余弦可得cos2β

解答： 解：（1）∵0＜α＜

π

2

，cosα=

1

7

，
∴sinα=

1-cos2α

=

4 3

7

，
∴tanα=

sinα

cosα

=4

3

∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

8 3

47

；
（2）∵0＜β＜α＜

π

2

，∴0＜α-β＜

π

2

，
又∵cos（α-β）=

13

14

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

3 3

14

，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

∴cos2β=2cos^2_β-1=-

1

2

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及二倍角公式，属基础题．