Question

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点M（2，

2

），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在以圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据离心率为e=

2

2

，过点M（2，

2

），利用待定系数法，求出几何量，从而可求椭圆E的方程；
（II）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及

OA

⊥

OB

，可确定m的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立．

解答：解：（I）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）的离心率为

2

2

，且过点M（2，

2

），
∴

4 a2 + 2 b2 =1 a2-b2 a2 = 1 2

，解得

a2=8 b2=4

，
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（II）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

，
设该圆的切线方程为y=kx+m，
解方程组

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

得x²+2（kx+m）²=8，即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

；
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

，
∵

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，
∴8k²=3m²-8，
∴对任意k，符合条件的m满足

3m2-8≥0 3m2-8-m2+4＞0

，
∴m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r=

m

1+k

，
∴r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，
∴所求的圆为x²+y²=

8

3

；
此时圆的切线y=kx+m都满足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
而当切线的斜率不存在时，切线为x=±

2 6

3

与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的两个交点为(

2 6

3

，±

2 6

3

)或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)满足

OA

⊥

OB

，
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=

8

3

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且

OA

⊥

OB

．

点评：熟练掌握椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与椭圆相交得到根与系数的关系、直线与圆相切的性质、垂直与数量积的关系是解题的关键．