Question

直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x= 6 cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数），直线l的参数方程为

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

（t为参数），T为直线l与曲线C的公共点．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求点T的极坐标；
（Ⅱ）将曲线C上所有点的纵坐标伸长为原来的

3

倍（横坐标不变）后得到曲线W，过点T作直线m，若直线m被曲线W截得的线段长为2

3

，求直线m的极坐标方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲线C的普通方程为

x2

6

+

y2

2

=1，将直线l的参数方程代人上式，解得t的值，可得点T的坐标，再化为极坐标．
（Ⅱ）依题知，坐标变换式为

x′=x y′= 3 y

，可得W的方程为x²+y²=6．分直线m的斜率不存在和直线m的斜率存在两种情况，分别依据条件求得直线m的方程，再化为极坐标方程．

解答：解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为

x2

6

+

y2

2

=1，将

x= 3 2 t y=2- 1 2 t

代人上式，
整理得t²-4t+4=0，解得t=2，故点T的坐标为(

3

， 1)，
故极径ρ=

3+1

=2，极角θ满足tanθ=

1

3

=

3

3

，结合点所在的象限可得θ=

π

6

，
故点T的极坐标为(2， 

π

6

)．…（5分）
（Ⅱ）依题知，坐标变换式为

x′=x y′= 3 y

，故W的方程为：

x2

6

+

( y 3 )2

2

=1，即x²+y²=6．
当直线m的斜率不存在时，其方程为x=

3

，显然成立．
当直线m的斜率存在时，设其方程为y-1=k(x-

3

)，即kx-y-

3

k+1=0，
则由已知，圆心（0，0）到直线m的距离为

3

，故

|- 3 k+1|

k2+1

=

3

，
解得k=-

3

3

．此时，直线m的方程为y=-

3

3

x+2．
综上，直线m的极坐标方程为：ρcosθ=

3

，或ρsinθ+

3

3

ρcosθ=2．…（10分）

点评：本题主要考查函数图象的变换规律，极坐标方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．