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如图,已知PA⊥面ABCD,PA=AB=AD=
12
CD,∠BAD=∠ADC=90°
(1)在面PCD上找一点M,使BM⊥面PCD;
(2)求由面PBC与面PAD所成角的二面角的余弦值.
分析:(1)设M为PC的中点,PD中点为N,由条件可得ABMN为平行四边形,BM∥AN.再根据AN⊥面PCD,可得BM⊥面PCD.
(2)延长CB交DA于E,证明PE⊥面PCD,可得∠CPD为二面角C-PE-D的平面角.求得得tan∠CPD=
2
,可得cos∠CPD的值.
解答:解:(1)M为PC的中点,设PD中点为N,则MN=
1
2
CD,且MN∥
1
2
CD,∴MN=AB,MN∥AB.
再由 PA=AB=AD=
1
2
CD,可得ABMN为平行四边形,∴BM∥AN.
可得∠PAD=90°,∴AN⊥PD,又CD⊥AN,∴AN⊥面PCD,∴BM⊥面PCD.…(6分)
(2)延长CB交DA于E,∵AB=
1
2
CD,且AB∥
1
2
CD,∴AE=AD=PA,∴PD⊥PE.
又∴PE⊥CD,∴PE⊥面PCD,∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角.
再由PD=
2
AD,CD=2AD,可得tan∠CPD=
2

∴cos∠CPD=
3
3
.…(12分)
点评:本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用,求二面角的平面角的方法,体现了转化的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
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(1)求证:四边形AMNF为平行四边形;
(2)求证:MN⊥AB
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PE
PC
=
PF
PB

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(3)当λ=
1
2
时,求三棱锥A-CEF的体积.

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(1)求证:四边形AMNF为平行四边形;
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(1)求证:四边形AMNF为平行四边形;
(2)求证:MN⊥AB
(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.

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