Question

已知点M（2，0），两条直线l₁：2x+y-3=0与l₂：3x-y+6=0，直线l经过点M，并且与两条直线l₁•l₂分别相交于A（x₁，y₁）•B（x₂，y₂）两点，若A与B重合，求直线l的方程，若x₁+x₂=0，求直线l的方程．

Answer 1

考点：待定系数法求直线方程

专题：直线与圆

分析：（1）若A与B重合，可得直线过l₁•l₂的交点N的坐标，可得方程；
（2）①直线l过点M且斜率不存在时，不满足x₁+x₂=0；②直线l过点M且斜率存在时，设其方程为y=k（x-2），分别解方程组可得x₁和x₂，由x₁+x₂=0可得k的方程，解方程可得k值，可得直线方程．

解答： 解：（1）若A与B重合，则直线过l₁•l₂的交点N，
联立2x+y-3=0与3x-y+6=0可解得x=-

3

5

且y=

21

5

，
∴直线过点M（2，0）和N（-

3

5

，

21

5

），
∴直线的斜率k_MN=

21 5

- 3 5 -2

=-

21

13

，
∴直线的方程为y-0=-

21

13

（x-2），即21x+13y-42=0；
（2）①直线l过点M且斜率不存在时，不满足x₁+x₂=0；
②直线l过点M且斜率存在时，设其方程为y=k（x-2），
联立y=k（x-2）和2x+y-3=0可解得x₁=

2k+3

k+2

（k≠-2），
联立y=k（x-2）和3x-y+6=0可解得x₂=

2k+6

k-3

（k≠3），
∵x₁+x₂=0，∴

2k+3

k+2

+

2k+6

k-3

=0，
解得k=-

3

4

或k=-1，
可得方程为x+y-2=0或3x+4y-6=0；
综合①②可得直线的方程为：21x+13y-42=0或x+y-2=0或3x+4y-6=0

点评：本题考查待定系数法求直线的方程，涉及分类讨论的思想，属中档题．