Question

已知函数f(x)＝aln(2x＋1)＋bx＋1.
(1)若函数y＝f(x)在x＝1处取得极值，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线2x＋y－3＝0平行，求a的值；
(2)若b＝，试讨论函数y＝f(x)的单调性．

Answer 1

（1）（2）当a≥0时，函数f(x)在区间为增函数；当a<0时，函数f(x)在区间为增函数；在区间为减函数．

(1)函数f(x)的定义域为，f′(x)＝＋b＝，
由题意可得解得所以.
(2)若b＝，则f(x)＝aln(2x＋1)＋x＋1，
所以f′(x)＝，
1°　令f′(x)＝>0，由函数定义域可知，4x＋2>0，所以2x＋4a＋1>0，
①当a≥0时，x∈，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
②当a<0时，x∈，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
2°　令f′(x)＝<0，即2x＋4a＋1<0，
①当a≥0时，不等式f′(x)<0无解；
②当a<0时，x∈，f′(x)<0，函数f′(x)单调递减．
综上，当a≥0时，函数f(x)在区间为增函数；当a<0时，函数f(x)在区间为增函数；在区间为减函数