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已知a∈R,函数f(x)=
1-
1
2x
,x>0
(a-1)x+1,x≤0

(1)证明:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)求函数f(x)的零点.
考点:函数的零点,函数单调性的判断与证明
专题:函数的性质及应用
分析:(1)利用单调性的定义即可证明函数f(x)单调递增;
(2)由(1)可知:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无零点;
当x≤0时,f(x)=(a-1)x+1,对a分类讨论,利用一次函数的单调性即可得出.
解答: (1)证明:?0<x1<x2,则0<2x12x2
∴f(x1)-f(x2)=1-
1
2x1
-(1-
1
2x2
)
=
2x1-2x2
2x1+x2
<0,
∴f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)解:由(1)可知:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无零点;
当x≤0时,f(x)=(a-1)x+1,
a>1时,函数f(x)单调递增,f(x)≤f(0)=1,存在一个零点,x=-
1
a-1

当a=1时,f(x)=1,无零点;
当a<1时,函数f(x)单调递减,f(x)≥f(0)=1,不存在一个零点.
点评:本题考查了函数的单调性、分类讨论的思想方法、分段函数的性质,考查了推理能力,属于基础题.
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