Question

过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数λ使得？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解法（一）：（1）设A（x₁，），
由x²=4y，得：y′=，∴k_PA=∵=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．（4分）
直线PA的方程是：y-）即y=①
同理，直线PB的方程是：y=②，（6分）
由①②得：
∴点P的轨迹方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：-1），-1），P（，-1）=-4，
（+2，
所以=0
故存在λ=1使得=0．（14分）
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且=0，
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA⊥PB，
设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）
由得：x²-4kx-4m=0．（4分）
∴△=16k²+16m=0即m=-k²
即直线PA的方程是：y=kx-k²
同理可得直线PB的方程是：y=-，（6分）
由得：
故点P的轨迹方程是y=-1（x∈R）．（8分）
（2）由（1）得：A（2k，k²），B（-，），
∴-1），，-2））．
故存在λ=1使得=0．（14分）
分析：法一：（1）设A（x₁，），由x²=4y，得：y′=，由此推导出直线PA的方程是：y=．同理，直线PB的方程是：y=．由此能求出点P的轨迹方程．
（2）由-1），-1），得P（，-1）=-4，（+2，由此能推导出存在λ=1使得=0．
法二：（1）由直线PA、PB与抛物线相切，且=0，设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0），由得：x²-4kx-4m=0，△=16k²+16m=0，得到直线PA的方程是：y=kx-k²．同理可得直线PB的方程是：y=-．由此能求出P的轨迹方程．
（2）由A（2k，k²），B（-，），知-1），，-2），由此能推导出存在λ=1使得=0．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．