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已知函数满足f(-1)=0,且对任意x>0都有
(1)求f(1)的值;
(2)求a,b,c的值;
(3)若在(0,2]上是减函数,求实数m的取值范围.
【答案】分析:(1)对赋值x=1,则可求;
(2)由f(-1)=0,f(1)=1,建立方程组,再借助于对任意x>0都有,从而问题得解;
(3)利用单调性的定义,设0<x1<x2≤2可有,从而1-m>x1x2恒成立,而0<x1x2<4,所以1-m≥4,故可求实数m的取值范围.
解答:解:(1)由,令x=1,得1≤f(x)≤1,∴f(1)=1.
(2)由f(-1)=0,f(1)=1,得
当x≥0时,
①②
由①式a≤0显然不成立,∴a>0,∵Q(x)=2ax2-x+(1-2a)的图象的对称轴为
∴△=1-8a(1-2a)≤0,即(4a-1)2≤0,∴
从而,而此时②式为(x-1)2≥0,∴
(3),设0<x1<x2≤2,则,∵x1-x2<0,x1x2>0,
∴x1x2-(1-m)<0,即1-m>x1x2恒成立,而0<x1x2<4,∴1-m≥4,
∴m≤-3.
点评:本题主要考查函数解析式的求解,考查恒成立的处理,采用了赋值法,属于中档题.
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