Question

已知函数y=

1

x

，
（Ⅰ）证明函数y=

1

x

在[1，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设x₂＞x₁≥1，求得f（x₂）-f（x₁）小于零，可得函数在[1，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）由于该函数在区间[1，4]上是增函数，从而求得函数在此闭区间上的最值．

解答：（Ⅰ）证明：设x₂＞x₁≥1，
则f（x₂）-f（x₁）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1•x2

．
根据题设可得 x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴

x1-x2

x1•x2

＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），
∴函数在[1，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）由于该函数在区间[1，4]上是增函数，
故当x=1时，函数取得最大值为1，
当x=4时，函数取得最小值为

1

4

．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的最大值和最小值．