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(2007•长宁区一模)已知函数f(x)=
3
|cos
π
2
x|(x≥0)
,图象的最高点从左到右依次记为P1,P3,P5,…,函数y=f(x)图象与x轴的交点从左到右依次记为P2,P4,P6,…,设Sn=
P1P2
P2P3
+(
P2P3
P3P4
)2
+(
P3P4
P4P5
)3
+(
P4P5
P5P6
)4
+…+(
PnPn+1
pn+1pn+2
)n
,则
lim
n→∞
Sn
1+(-2)n
=
2
3
2
3
分析:求出函数P1,P2,P3,P4,P5,…,的坐标,求出向量
P2k-1P2k
p2kp2k+1
 
p2k+1p2k+2
 
,求出
P2k-1P2k
p2kp2k+1
 
p2kp2k+1
 
p2k+1p2k+2
 
推出
PnPn+1
pn+1pn+2
 
,然后求出Sn,即可求解
lim
n→+∞
Sn
1+(-2)n
的值.
解答:解:函数f(x)=
3
|cos
π
2
x|(x≥0)
,图象的最高点从左到右依次记为P1,P3,P5,…,
函数y=f(x)图象与x轴的交点从左到右依次记为P2,P4,P6,…,
所以P1(0,
3
)
P2(1,0)P3(2,
3
)
,P4(3,0)P5(4,
3
)
,P6(5,0)…
P2k-1P2k
=(1,-
3
)
 
p2kp2k+1
=(1,
3
)
 

p2k+1p2k+2
 
=(1,-
3
)

P2k-1P2k
p2kp2k+1
 
=1-3=-2

p2kp2k+1
 
p2k+1p2k+2
 
=1-3=-2

PnPn+1
pn+1pn+2
 
=-2,  n=1,2,3,…

Sn=-2+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n=
2[(-2)n-1]
3

lim
n→+∞
Sn
1+(-2)n
=-
3
lim
n→+∞
1-(-2)n
1+(-2)n
=-
2
3
lim
n→+∞
1
(-2)n
-1
1
(-2)n
+1
=
2
3

故答案为:
2
3
点评:本题是中档题,考查函数的图象,数列的前n项和的求法,数列的极限的求解方法,考查计算能力.
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x-1
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4
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4
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