Question

18．如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）若k=2，求炮的射程；
（2）求炮的最大射程．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出对于的x的值即可；（2）令kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²=0，求出x=$\frac{20k}{1{+k}^{2}}$，根据基本不等式的性质求出x的最大值即可．

解答 解：（1）当k=2时，$y=2x-\frac{1}{4}{x^2}$，
令y=0得x₁=8，x₂=0（舍去），
∴k=2时，炮的射程是8千米．-----（5分）
（2）在y=kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²，（k＞0）中，
令y=0，得kx-$\frac{1}{20}$（1+k²）x²=0，
由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，
∴x=$\frac{20k}{1{+k}^{2}}$=$\frac{20}{k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{20}{2}$=10，当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．-----（12分）

点评 本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题．