Question

4．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：（1）当$x∈[{\frac{1}{2}，1}）$时，f（x）=$\frac{1}{2}-|{2x-\frac{3}{2}}$|；（2）f（2x）=2f（x），则关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x₁，x₂，…，x_n…x_2n，若$a∈（{\frac{1}{2}，1}）$，则x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=3×（2ⁿ-1）．

Answer 1

分析 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x\\;\\;\frac{3}{4}≤x＜1}\\{2x-1\\;\\;\frac{1}{2}≤x＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，此时f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）∈[0，2]，…以此类推，
则F（x）=f（x）-a在区间（1，2）有2个零点，分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂=2×$\frac{3}{2}$=3，
依此类推：x₃+x₄=6，…，x_2n-1+x_2n=3×2^n-1．利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x\\;\\;\frac{3}{4}≤x＜1}\\{2x-1\\;\\;\frac{1}{2}≤x＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，此时f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]，
∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）∈[0，2]，…以此类推，
则F（x）=f（x）-a在区间（1，2）有2个零点，分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂=2×$\frac{3}{2}$=3，
依此类推：x₃+x₄=6，…，x_2n-1+x_2n=3×2^n-1．如图所示：

则x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=3×（2ⁿ-1）．
故答案为：3×（2ⁿ-1）．

点评 本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本技能，属于难题