Question

在曲线y=x²（x＜0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的图形面积为

1

12

，则A点的横坐标为（　　）

• A．1
• B．-1
• C．-

  1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：设出A点的坐标（a，a²），求导数得到过A点的直线的斜率，写出切线方程，然后运用微积分基本定理求解．

解答：解：如图：设A的横坐标为a，因为y^′=2x，所以过A点的切线的斜率为2a，切线方程为y-a²=2a（x-a），即y=2ax-a²．
所以切线与曲线以及x轴所围成的图形面积为S=

∫

0 a

(x2-2ax+a2)dx+

1

4

a3
=(

1

3

x3-ax2+a2x

)|

0 a

+

1

4

a3=-

1

3

a3+

1

4

a3=-

1

12

a3=

1

12

，
所以a=-1．
故选B．

点评：本题考查了定积分，考查了求在函数图象上某一点出的切线方程的求法，解答此题的关键是想到去掉定积分中第三象限的三角形的面积，是易错题．