Question

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求二面角A-FC-B的余弦值．
（3）求AF与平面BFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证AC⊥平面BDEF，只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可，设AC与BD相交于点O，连结FO，由已知FA=FC可得AC⊥FO，再由ABCD为菱形得到AC⊥BD，则由线面垂直的判定定理得到答案；
（2）由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz，求出二面角A-FC-B的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；
（3）求出向量

AF

的坐标，直接用向量

AF

与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC所成角的正弦值．

解答：（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．
因为四边形ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，
且O为AC中点．又FA=FC，
所以AC⊥FO．  　　
因为FO∩BD=O，
所以AC⊥平面BDEF．  　
（2）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO⊥BD，
故FO⊥平面ABCD．　
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，
则BD=2，所以OB=1，OA=OF=

3

．
所以 O(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(0，1，0)，C(-

3

，0，0)，F(0，0，

3

)．
所以 

CF

=(

3

，0，

3

)，

CB

=(

3

，1，0)．
设平面BFC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则有

n • CF =0 n • CB =0

，所以

3 x+ 3 z=0 3 x+y=0

，取x=1，得

n

=(1，-

3

，-1)．
由图可知平面AFC的法向量为

v

=(0，1，0)．
由二面角A-FC-B是锐角，得|cos＜

n

，

v

＞|=

| n • v |

| n | | v |

=

15

5

．
所以二面角A-FC-B的余弦值为

15

5

；
（3）解：

AF

=(-

3

，0，

3

)，
平面BFC的法向量

n

=(1，-

3

，-1)，
所以cos＜

AF

，

n

＞=

AF • n

| AF | | n |

=

-2 3

6 5

=-

10

5

．
则sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=

10

5

．

点评：本题考查了直线和平面垂直的性质，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．