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如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.
(1)求证:AC⊥平面BDEF;
(2)求二面角A-FC-B的余弦值.
(3)求AF与平面BFC所成角的正弦值.
分析:(1)要证AC⊥平面BDEF,只要证AC垂直于平面BDEF内的两条相交直线即可,设AC与BD相交于点O,连结FO,由已知FA=FC可得AC⊥FO,再由ABCD为菱形得到AC⊥BD,则由线面垂直的判定定理得到答案;
(2)由OA,OB,OF两两垂直,建立空间直角坐标系O-xyz,求出二面角A-FC-B的两个面的法向量,由法向量所成角的余弦值求得答案;
(3)求出向量
AF
的坐标,直接用向量
AF
与平面BFC的法向量所成角的余弦值求得AF与平面BFC所成角的正弦值.
解答:(1)证明:设AC与BD相交于点O,连结FO.
因为四边形ABCD为菱形,
所以AC⊥BD,
且O为AC中点.又FA=FC,
所以AC⊥FO.    
因为FO∩BD=O,
所以AC⊥平面BDEF.   
(2)解:因为四边形BDEF为菱形,且∠DBF=60°,
所以△DBF为等边三角形.
因为O为BD中点,所以FO⊥BD,
故FO⊥平面ABCD. 
由OA,OB,OF两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设AB=2.因为四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,
则BD=2,所以OB=1,OA=OF=
3

所以 O(0,0,0),A(
3
,0,0),B(0,1,0),C(-
3
,0,0),F(0,0,
3
)

所以 
CF
=(
3
,0,
3
)
CB
=(
3
,1,0)

设平面BFC的法向量为
n
=(x,y,z)

则有
n
CF
=0
n
CB
=0
,所以
3
x+
3
z=0
3
x+y=0
,取x=1,得
n
=(1,-
3
,-1)

由图可知平面AFC的法向量为
v
=(0,1,0)

由二面角A-FC-B是锐角,得|cos<
n
v
>|=
|
n
v
|
|
n
| |
v
|
=
15
5

所以二面角A-FC-B的余弦值为
15
5

(3)解:
AF
=(-
3
,0,
3
)

平面BFC的法向量
n
=(1,-
3
,-1)

所以cos<
AF
n
>=
AF
n
|
AF
| |
n
|
=
-2
3
6
5
=-
10
5

sinθ=|cos<
AF
n
>|=
10
5
点评:本题考查了直线和平面垂直的性质,考查了利用空间向量求线面角和面面角,解答的关键是建立正确的空间右手系,是中档题.
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