Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对边，a+b=4，（2﹣cosA）tan =sinA．
（1）求边长c的值；
（2）若E为AB的中点，求线段EC的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan =sinA，a+b=4，

∴（2﹣cosA） =sinA，

即2sinC=sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinA+sinB，

∴由正弦定理可得：2c=a+b=4，

∴c=2．

（2）∵c=2，E为AB的中点，

∴由余弦定理可得：CE2=AE2+AC2﹣2AEACcosA=a2+1﹣2acosB，

CE2=BE2+BC2﹣2BEBCcosB=b2+1﹣2bcosA，

∴两式相加可得：CE2= ，

又∵cosB= ，cosA= ，a=4﹣b，

∴ ，

又∵ ，

∴1＜b＜3，

∴ ．

【解析】(1)由已知利用半角公式化简条件式子，再根据正弦定理结合已知即可解得c的值。（2）利用已知以及余弦定理可得出 ,再结合可得出b的取值范围，利用二次函数的性质即可解出 C E的范围。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．