Question

已知函数f（x）=|x-a|x+b（a，b∈R），给出下列命题：
（1）当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
（2）当x＞a时，f（x）是递增函数；
（3）当0≤x≤a时，f（x）的最大值为

a2

4

+b．
其中正确的序号是

 

．

Answer 1

分析：（1）把a=0代入f（x），设M（x，y）是函数上的任意一点，验证关于（0，b）对称的点N（-x，2b-x）在函数f（x）的图形上．
（2）当x＞a时，f（x）=x²-ax+b，结合二次函数在（a．+∞）的图象可判断
（3）当0≤x≤a时，f（x）=-x²+ax+b，结合二次函数在[0，a]的图象判断

解答：解：（1）a=0，f（x）=x|x|+b，设M（x，y）是函数图象上的任意一定，则关于（0，b）对称的点N（x′，y′），则

x=-x′ y=2b-y′

 代入可得①正确
（2）x＞a，f（x）=x²-ax+b，当a＞0时，在（a，+∞）递增，当a＜0时，在（a，+∞）先减后增，②错
（3）0≤x≤a，f（x）=-x²+ax+b，函数的对称轴x=

a

2

，
a＞0时，a＞

a

2

，函数在(0，

a

2

)递增，在(

a

2

，a)上递减，函数在x=

a

2

取最大值

a2

4

+b③正确
故答案为：（1）（3）

点评：本题综合考查了函数的对称性、函数的单调性、二次函数的在闭区间上的最值的求解，解决本题的关键是要熟练掌握函数的性质，灵活运用性质进行解题．