Question

过点P（0，1）与抛物线y²=x有且只有一个交点的直线有（　　）

A．4条

B．3条

C．2条

D．1条

Answer 1

分析：过点P（0，1）的直线与抛物线y²=x只有一个交点，则方程组

y=kx+1 y2=x

只有一解，分两种情况讨论即可：（1）当该直线存在斜率时；（2）该直线不存在斜率时；

解答：解：（1）当过点P（0，1）的直线存在斜率时，设其方程为：y=kx+1，
由

y=kx+1 y2=x

，消y得k²x²+（2k-1）x+1=0，
①若k=0，方程为-x+1=0，解得x=1，此时直线与抛物线只有一个交点（1，1）；
②若k≠0，令△=（2k-1）²-4k²=0，解得k=

1

4

，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；
（2）当过点P（0，1）的直线不存在斜率时，
该直线方程为x=0，与抛物线相切只有一个交点；
综上，过点P（0，1）与抛物线y²=x有且只有一个交点的直线有3条．
故选B．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是：（1）代数法，转化为方程组解的个数问题；（2）几何法，数形结合；