Question

设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，称函数f（x）=[x]为高斯函数，也叫取整函数．现有下列四个命题：
①高斯函数为定义域为R的奇函数；
②“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件；
③设g（x）=（

1

2

）^|x|，则函数f（x）=[g（x）]的值域为{0，1}；
④方程[

x+1

4

]=[

x-1

2

]的解集是{x|1≤x＜5}．
其中真命题的序号是

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①，举例说明，高斯函数f（x）=[x]中，f（-1.1）≠-f（1.1），可判断①错误；
②，利用充分必要条件的概念，举例如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，说明“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件；
③，作出g（x）=（

1

2

）^|x|的图象，利用高斯函数f（x）=[x]可判断函数f（x）=[g（x）]的值域为{0，1}；
④，方程[

x+1

4

]=[

x-1

2

]?[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，通过对0≤

x+1

4

＜1，1≤

x+1

4

＜2，2≤

x+1

4

＜3三种情况的讨论与相应的

x+1

2

的取值范围的讨论可得原方程的解集是{x|1≤x＜5}，从而可判断④正确．

解答： 解：对于①，f（-1.1）=[-1.1]=-2，f（1.1）=[1.1]=1，显然f（-1.1）≠-f（1.1），故定义域为R的高斯函数不是奇函数，①错误；
对于②，“[x]”≥“[y]”不能⇒“x≥y”，如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，即充分性不成立；
反之，“x≥y”⇒“[x]”≥“[y]”，即必要性成立，所以“[x]”≥“[y]”是“x≥y”的必要不充分条件，故②正确；
对于③，设g（x）=（

1

2

）^|x|，作出其图象如下：

由图可知，函数f（x）=[g（x）]的值域为{0，1}，故③正确；
对于④，[

x+1

4

]=[

x-1

2

]=[

x+1

2

-1]=[

x+1

2

]-1，
即[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，显然，

x+1

2

＞

x+1

4

，即x＞-1；
（1）当0≤

x+1

4

＜1，即-1≤x＜3时，[

x+1

4

]=0，[

x+1

4

]+1=1；
要使[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，必须1≤

x+1

2

＜2，即1≤x＜3，与-1≤x＜3联立得：1≤x＜3；
（2）当1≤

x+1

4

＜2，即3≤x＜7时，[

x+1

4

]=1，[

x+1

4

]+1=2；
要使[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，必须2≤

x+1

2

＜3，即3≤x＜5，与3≤x＜7联立得：3≤x＜5；
（3）当2≤

x+1

4

＜3，即7≤x＜11时，[

x+1

4

]=2，[

x+1

4

]+1=3；
要使[

x+1

4

]+1=[

x+1

2

]，必须3≤

x+1

2

＜4，即5≤x＜7，与7≤x＜11联立得：x∈∅；
综上所述，方程[

x+1

4

]=[

x-1

2

]的解集是{x|1≤x＜5}，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查高斯函数的性质，综合考查函数的奇偶性、指数函数的图象与性质、充分必要条件的概念、方程思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．