Question

已知函数f（x）=

1

3

a²x³-ax²+

2

3

，g（x）=-ax+1，其中a＞0．
（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，试求实数a的值；
（2）在区间（0，

1

2

]上至少存在一个实数x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别求出f（x）和g（x）的导函数，设出两函数图象的公共点M的坐标，由两函数图象在公共点处有相同的切线，把M的横坐标代入两导函数中求出的导函数值相等得到一个关系式，记作①，把M的横坐标代入两函数解析式中得到的函数值相等，记作②，把①化简后解出a等于一个关系式，记作③，把②化简后，记作④，把③代入④消去a得到关于点M横坐标的方程，求出方程的解即可得到点M横坐标的值，把横坐标的值代入③即可求出a的值；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），求出导函数，由x的范围得到导函数值大雨0，即F（x）为增函数，根据闭区间x的范围，求出F（x）的最大值，根据最大值大于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．

解答：解：（1）设函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的公共点为M（x₀，y₀），
由题意得：

f′(x0)=g′(x0) f(x0)=g(x0)

，即

a2 x 2 0 -2ax0=-a① 1 3 a2 x 3 0 - ax 2 0 + 2 3 =-ax0+1②

．
由①得a（ax₀²-2x₀+1）=0，
∵a＞0，且x₀≠0，
∴a=

2x0-1

x 2 0

．③
由②得

1

3

a²x₀³-ax₀²+ax₀-

1

3

=0．④
把③代入④，得

1

3

(

2x0-1

x 2 0

)2•

x

3 0

-

2x0-1

x 2 0

 •

x

2 0

+

2x0-1

x 2 0

 •x₀-

1

3

=0，
化简得x₀²-2x₀+1=0，解得x₀=1．
当x₀=1时，a=

2×1-1

12

=1，
于是，所求实数a的值为1．
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a²x³-ax²+ax-

1

3

（x∈（0，

1

2

]），
对F（x）求导，得F′（x）=a²x²-2ax+a=a²x²+a（1-2x）＞0（a＞0），
∴F（x）在（0，

1

2

]上为增函数，则F（x）_max=F（

1

2

）．
依题意，只需F（x）_max＞0，即

1

3

a²×

1

8

-a×

1

4

+a×

1

2

-

1

3

＞0，
∴a²+6a-8＞0，解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）．
于是，所求实数a的取值范围是（-3+

17

，+∞）．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性，会利用导数求闭区间上函数的最大值，是一道中档题．