Question

15．在△ABC中，已知BC=6，C=45°，cosA=$\frac{4}{5}$，则△ABC的面积为21．

Answer 1

分析 由已知及同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由正弦定理可求得AB的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：在△ABC中，∵cosA=$\frac{4}{5}$，可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴由正弦定理可得：AB=$\frac{BCsinC}{sinA}$=$\frac{6×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{5}}$=5$\sqrt{2}$，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×6×$$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=21．
故答案为：21．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．