Question

设函数f(x)＝e^x－ax－2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

Answer 1

（1）f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
（2）2

(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e^x－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e^x－1)＋x＋1.
故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于
k<＋x(x>0)             ①
令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝.
由(1)知，函数h(x)＝e^x－x－2在(0，＋∞)上单调递增，
又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e²－4>0.
所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．
故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．
设此零点为α，则α∈(1,2)．
当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．
又由g′(α)＝0，得e^α＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．
由于①式等价于k<g(α)，
故整数k的最大值为2.