Question

设圆（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是     ．

Answer 1

【答案】分析：先根据圆的方程求得圆心坐标和圆心到已知直线的距离，进而可推断出与直线4x-3y-2=0距离是1的两个直线方程，分别求得圆心到这两直线的距离，分析如果与4x-3y+3=0相交 那么圆也肯定与4x-3y-7=0相交 交点个数多于两个，则到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点不止2个，进而推断出圆与4x-3y+3=0不相交；同时如果圆与4x-3y-7=0的距离小于等于1 那么圆与4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交点个数和至多为1个 也不符合题意，最后综合可知圆只能与4x-3y-7=0相交，与4x-3y+3=0相离，进而求得半径r的范围．
解答：解：依题意可知圆心坐标为（3，-5），到直线的距离是5
与直线4x-3y-2=0距离是1的直线有两个4x-3y-7=0和4x-3y+3=0
圆心到4x-3y-7=0距离为=4 到4x-3y+3=0距离是=6
如果圆与4x-3y+3=0相交 那么圆也肯定与4x-3y-7=0相交，
交点个数多于两个，于是圆上点到4x-3y-2=0的距离等于1的点不止两个
所以圆与4x-3y+3=0不相交
如果圆与4x-3y-7=0的距离小于等于1，那么圆与4x-3y-7=0和4x-3y+3=0交点个数和至多为1个
所以圆只能与4x-3y-7=0相交，与4x-3y+3=0相离
所以 4＜r＜6
故答案为：（4，6）
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系和判定．考查了学生分析问题和数形结合思想的运用．要求学生有严密的逻辑思维能力．