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已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,上、下顶点分别为A1,A2,椭圆上的点到上焦点F1的距离的最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)以原点为顶点,F1为焦点的抛物线上的点P(非原点)处的切线与x轴,y轴分别交于Q、R两点,若
PQ
PR
,求λ的值.
(3)是否存在过点(0,m)的直线l,使得l与椭圆相交于A、B两点(A、B不是上、下顶点)且满足
A1A
A1B
=0
,若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
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(1)依题意得:
c
a
=
1
2
a-c=1
,∴
a=2
c=1
,∴b2=a2-c2=3
∴所求的椭圆方程为:
y2
4
+
x2
3
=1


(2)由(1)知,F1(0,1)则抛物线的方程为x2=4y
y=
1
4
x2∴y′=
1
2
x

P(t,
t2
4
)(t≠0)
则该点处的切线的斜率k=y′|x=t=
t
2

∴切线方程为y-
t2
4
=
t
2
(x-t)

y=0得Q(
t
2
,0)
x=0得R(0,-
t2
4
)

PQ
=(-
t
2
,-
t2
4
)
PR
=(-t,-
t2
2
)

PQ
=
1
2
PR
λ=
1
2


(3)假设存在过点(0,m)的直线l,满足条件,则l的斜率必存在,
∴可设l方程为y=kx+m联立
y=kx+m
y2
4
+
x2
3
=1
消去y得(4+3k2)x2+6mkx+3(m2-4)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2
△=36m2k2-12(4+3k2)(m2-4)>0①
x1+x2=-
6mk
4+3k2
x1x2=
3(m2-4)
4+3k2

由①得4+3k2-m2>0
由②③及直线l的方程得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=
4(m2-3k2)
4+3k2
y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m
=
8m
4+3k2

∵椭圆的上顶点为A1(0,2),
A1A
A1B
=0

∴x1x2+(y1-2)(y2-2)=0即x1x2+y1y2-2(y1+y2)+4=0
3(m2-4)
4+3k2
+
4(m2-3k2)
4+3k2
-2×
8m
4+3k2
+4=0

整理得7m2-16m+4=0解得m=
2
7
或m=2

当m=2时,直线l的方程为y=kx+2过椭圆的上顶点A1(0,2)与已知矛盾
m=
2
7
时,直线l的方程为y=kx+
2
7
符合题意
∴存在过点(0,m)的直线l,使得l与椭圆相交于A、B两点,且满足
A1A
A1B
=0
,实数m的值为
2
7
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
y2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,左右两个焦分别为F1、F2.过右焦点F2且与轴垂直的
直线与椭圆C相交M、N两点,且|MN|=1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,动点P满足
PA
AB
=m-4,(m∈R)试求点P的轨迹方程,使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆C上.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的离心率为
6
3
,过右顶点A 的直线l与椭圆C相交于A、B两点,且B(-1,-3).
(1)求椭圆C和直线l的方程;
(2)若圆D:x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与直线lAB相切,求实数m的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a
>b>0)的离心率为
2
2
,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2
2
.斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求m的取值范围.
(3)试用m表示△MPQ的面积S,并求面积S的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1
(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,在x轴上的两个端点分别为A,B.且四边形F1AF2B是边长为1的正方形.
(1)求椭圆C的离心率及其标准方程;
(2)若直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异的两点MN,且
MP
=3
PN
,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆C上的不同两点,已知向量
m
=(
x1
b
y1
a
)
n
=(
x2
b
y2
a
)
,且
m
n
=0.已知O为坐标原点,试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

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