Question

已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x₀∈（a，b），使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)”成立．
（1）利用这个性质证明x₀唯一；
（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用反证法，假设存在x0′，x0 ∈（a，b），考察得出函数f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，得出矛盾
（2）利用f（x）是R上的单调减函数，得出

BA

•

BC

＜0，cosB＜0，∠B为钝角，△ABC为钝角三角形．

解答：解：（1）证明：假设存在x0′，x0 ∈（a，b），且在x0′≠x0 ，使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)
∴

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0′)，∵f′(x0)=f′(x0′)
∴f′（x）=

ex

1+ex

-1=-

1

1+ex

，记g（x）=f′（x）=-

1

1+ex

，则g′（x）=

ex

(1+ex)2

＞0，f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，
∴所以x0′=x0 ，与x0′≠x0 矛盾，所以x₀是唯一的．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x ₃
∵f′(x)=

-1

1+ex

＜0，∴f（x）是R上的单调减函数．∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
∵

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x1))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))，
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴

BA

•

BC

＜0
∴cosB＜0，∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．

点评：本题考查了函数单调性的应用，向量坐标运算及几何意义，反证法的解题思想．综合性强，值得体会．