Question

已知函数f（x），g（x）满足f（5）=5，f′（5）=3，g（5）=4，g′（5）=1，则函数y=

f(x)+2

g(x)

的图象在x=5处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是

 

．

Answer 1

分析：求出y′，因为函数在x=5处的切线斜率等于y′_x=5，把x=5代入y′中即可求出切线的斜率，然后把x=5代入y中求出切点的纵坐标，得到切点坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程后，分别令x=0和y=0求出与坐标轴的截距，根据直角三角形面积的求法即可求出切线与坐标轴围成的三角形的面积．

解答：解：y′=

f′(x)g(x)-g′(x)(f(x)+2)

g2(x)

函数y=

f(x)+2

g(x)

在x=5处的切线斜率k=y′_x=5=

f′(5)g(5)-g′(5)(f(5)+2)

g2(5)

=

3×4-(5+2)

42

=

5

16

；
且x=5时，y=

f(5)+2

g(5)

=

5+2

4

=

7

4

，所以切点坐标为（5，

7

4

），
则切线方程为：y-

7

4

=

5

16

（x-5）化简得5x-16y+3=0
令x=0，求得直线与y轴的截距y=

3

16

；令y=0，求得直线与x轴的截距x=

3

5

，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S=

1

2

×

3

16

×

3

5

=

9

160

故答案为：

9

160

点评：此题考查学生会利用求导法则求函数的导函数，会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会求直线方程的截距，是一道中档题．