Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，E是侧棱AA₁的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁⊥EC；
（Ⅱ）求二面角A-EC-B的大小．

Answer 1

分析：法一：
（Ⅰ）设O是AC的中点，连接OB、OC₁．在正三棱柱中，OB⊥AC，OB⊥平面ACC₁A₁，OC₁是BC₁在面ACC₁A₁上的射影．△AEC≌△COC₁，由此能够证明BC₁⊥EC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BO⊥平面AEC，作OF⊥EC，垂足为F，连接BF，则∠OFB为二面角A-EC-B的平面角．由此能求出二面角A-EC-B的大小．
法二：
（Ⅰ）在正三棱柱中，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，利用向量法能够证明BC₁⊥EC．
（Ⅱ）求出平面AEC的一个法向量为

n1

=

1，0，0

．求出平面ECD的法向量

n2

=

1， 3 ，2 3

．利用向量法能坟出二面角A-EC-B的大小．

解答：解法一：
（Ⅰ）证明：设O是AC的中点，连接OB、OC₁．
在正三棱柱中，OB⊥AC，OB⊥平面ACC₁A₁，
∴OC₁是BC₁在面ACC₁A₁上的射影．
∴△AEC≌△COC₁，∠AEC=∠COC₁．
又∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠COC₁+∠ACE=90°，OC₁⊥EC，
∴BC₁⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BO⊥平面AEC，
作OF⊥EC，垂足为F，连接BF，
则∠OFB为二面角A-EC-B的平面角．
不妨设AB=2，则BO=

3

，OF=

1

5

，
在Rt△BOF中，tan∠OFB=

OB

OF

=

15

，
∴∠OFB=arctan

15

．…（12分）
解法二：
（Ⅰ）证明：在正三棱柱中，以AC的中点O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz如图．
设AB=2，则
B

3 ，0，0

，C

0，1，0

，C1

0，1，2

，E

0，-1，1

，
∴

BC1

=

- 3 ，1，2

，

EC

=

0，2，-1

，
∵

BC1

•

EC

=0+2-2=0．
∴BC₁⊥EC．…（6分）
（Ⅱ）解：在空间直角坐标系O-xyz中，
平面AEC的一个法向量为

n1

=

1，0，0

．
设平面ECD的法向量为

n2

=

x，y，z

，
易知

BC

=

- 3

，1，0)，

EC

=

0，2，-1

．
由

n2 ⊥ BC n2 ⊥ EC

，得

- 3 x+y=0 2y-z=0

，
取x=1，得

n2

=

1， 3 ，2 3

．
cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

1×4

=

1

4

，
∴二面角A-EC-B的大小为arccos

1

4

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．